Hogyan működik a kontextusmentes nyelvtanok (CFG) és a nem-determinisztikus pushdown automaták (PDA-k) közötti egyenértékűség bizonyítása?
A kontextusmentes nyelvtanok (CFG-k) és a nem-determinisztikus pushdown automaták (PDA-k) közötti egyenértékűség bizonyítása a számítási komplexitás-elmélet alapvető fogalma. Ez a bizonyíték megállapítja, hogy a CFG által generált bármely nyelvet felismeri a PDA, és fordítva. Ebben a magyarázatban ennek a bizonyításnak a részleteit vesszük figyelembe, átfogó és didaktikus megértést biztosítva a témáról.
Kezdésként határozzuk meg az érintett összetevőket. A CFG a kontextusmentes nyelvek leírására használt formalizmus. Előállítási szabályok készletéből áll, amelyek karakterláncokat generálnak úgy, hogy a nem terminális szimbólumokat terminális és nem terminális szimbólumok sorozataira írják át. Másrészt a PDA egy számítási modell, amely egy verem beépítésével kiterjeszti egy véges automata képességeit. A verem lehetővé teszi a PDA számára, hogy nem determinisztikus műveleteket hajtson végre, így erősebb, mint egy véges automata.
A CFG-k és a PDA-k közötti egyenértékűség bizonyítása két részre osztható: annak bizonyítására, hogy a CFG által generált bármely nyelvet fel tudja ismerni a PDA, és annak bizonyítására, hogy a PDA által felismert bármely nyelv generálható a CFG-vel.
Először nézzük meg a CFG irányát a PDA-hoz. Adott egy CFG, létre kell hoznunk egy ekvivalens PDA-t, amely felismeri ugyanazt a nyelvet. Ezt a CFG származtatási folyamatának szimulálásával lehet megtenni a PDA veremével. A CFG minden nem terminális szimbóluma a PDA egy állapotának felel meg, és minden egyes termelési szabály egy átmenetnek felel meg a PDA-ban. A bemeneti karakterlánc beolvasásával és a verem manipulálásával a PDA szimulálhatja a származtatási folyamatot, és elfogadhatja a karakterláncot, ha az a CFG által generált nyelvhez tartozik.
Vegyük például a CFG-t a következő gyártási szabályokkal:
S -> aSb | ε
Ez a CFG létrehozza az összes karakterlánc nyelvét, amely tetszőleges számú „a” karakterből áll, amelyet ugyanannyi „b” követ. Egy ekvivalens PDA létrehozásához két állapotot használhatunk: az egyiket az „a” beolvasására és a verembe tolására, a másikat pedig a „b” olvasására és a veremből való kiugrásra. Az átmenet az első állapotból a második állapotba akkor következik be, amikor egy „a”-vel találkozunk, és a második állapotból az elfogadó állapotba, amikor „b”-vel találkozunk. Ezt a folyamatot követve a PDA ugyanazt a nyelvet ismeri fel, mint a CFG.
Most nézzük meg a PDA irányát a CFG felé. Adott egy PDA, létre kell hoznunk egy ekvivalens CFG-t, amely ugyanazt a nyelvet generálja. Ez megtehető az elemző fák koncepciójával. Az elemző fa a CFG-ben lévő karakterlánc származtatási folyamatát reprezentálja. A PDA átmeneteinek elemzésével és egy elemző fa felépítésével meghatározhatjuk az ekvivalens CFG előállítási szabályait.
Vegyünk például egy PDA-t, amely felismeri az összes azonos számú „a” és „b” karakterlánc nyelvét. A PDA átmeneteit elemezve létrehozhatunk egy elemzőfát, amely egy karakterlánc származtatási folyamatát reprezentálja. Ebből az elemzőfából kinyerhetjük az ekvivalens CFG termelési szabályait, amelyek hasonlóak a következőkhöz:
S -> aSb | bSa | ε
Ezek a gyártási szabályok ugyanazt a nyelvet állítják elő, mint a PDA.
A CFG-k és a PDA-k közötti egyenértékűség bizonyítása megállapítja, hogy a CFG által generált bármely nyelvet a PDA felismerheti, és a PDA által felismert bármely nyelvet a CFG generálhatja. Ez a bizonyítás magában foglalja egy ekvivalens PDA létrehozását egy adott CFG-hez, és egy ekvivalens CFG-t egy adott PDA-hoz. A levezetési folyamat szimulálásával és az átmenetek elemzésével megállapíthatjuk a két formalizmus közötti egyenértékűséget.
További friss kérdések és válaszok ezzel kapcsolatban EITC/IS/CCTF számítási komplexitáselmélet alapjai:
- Kérjük, írja le a válaszban azt a példát, ahol az FSM-et felismerő, akár 1 szimbólummal rendelkező bináris karakterlánc." …az „1011" bemeneti karakterlánc, az FSM nem éri el a végső állapotot, és az első három szimbólum feldolgozása után elakad az S0-ban."
- Hogyan befolyásolja a nondeterminizmus az átmeneti függvényt?
- A reguláris nyelvek egyenértékűek a véges állapotú gépekkel?
- A PSPACE osztály nem egyenlő az EXPSPACE osztállyal?
- A Church-Turing-tézis szerint az algoritmikusan kiszámítható probléma Turing-géppel kiszámítható probléma?
- Mi az összefűzés alatt álló reguláris nyelvek lezárási tulajdonsága? Hogyan kombinálják a véges állapotú gépeket, hogy reprezentálják a két gép által felismert nyelvek unióját?
- Minden tetszőleges probléma kifejezhető nyelvként?
- A P komplexitási osztály a PSPACE osztály részhalmaza?
- Minden többszalagos Turing-gépnek van egyenértékű egyszalagos Turing-gépe?
- Mik a predikátumok kimenetei?
További kérdések és válaszok az EITC/IS/CCTF számítási komplexitáselmélet alapjaiban