A Church-Turing-tézis szerint az algoritmikusan kiszámítható probléma Turing-géppel kiszámítható probléma?
A Church-Turing tézis a számításelmélet és a számítási komplexitás alapelve. Feltételezi, hogy minden függvény, amely egy algoritmussal kiszámítható, egy Turing-géppel is kiszámítható.
Ez a tézis nem bizonyítható formális tétel; hanem a kiszámítható függvények természetére vonatkozó hipotézis. Azt sugallja, hogy az "algoritmikus kiszámíthatóság" fogalmát a Turing-gépek megfelelően megragadják.
A Turing-gép a számítás egy absztrakt matematikai modellje, amely egy idealizált gépet definiál, amely képes bármilyen algoritmikusan megadható számítás elvégzésére. Ez egy végtelen cellákra osztott szalagból, egy szalagfejből, amely képes a szalagra szimbólumokat olvasni és írni, valamint egy véges állapothalmazból áll, amelyek az aktuális állapot és az olvasott szimbólum alapján határozzák meg a gép műveleteit. A gép egy szabályrendszer vagy egy átmeneti funkció szerint működik, amely megszabja, hogyan mozog az állapotok között, hogyan olvassa el és írja be a szimbólumokat, és mozgassa a szalagfejet.
A Church-Turing-tézis azt állítja, hogy ha egy probléma bármilyen számítási eszközzel megoldható, akkor létezik olyan Turing-gép, amely meg tudja oldani azt. Ennek a dolgozatnak mélyreható hatásai vannak a számítástechnika területére, mivel formális keretet ad a kiszámítható határok megértéséhez.
A fogalom illusztrálásához nézzük meg annak meghatározásának problémáját, hogy egy adott karakterlánc palindrom-e. A palindrom egy olyan karakterlánc, amely előre és hátrafelé ugyanazt olvassa. A probléma megoldására szolgáló algoritmus magában foglalhatja a karakterlánc első és utolsó karakterének összehasonlítását, majd a második és az utolsó karakterek összehasonlítását, és így tovább, amíg az összes karaktert össze nem hasonlítja. Ha az összes megfelelő karakter megegyezik, a karakterlánc palindrom; egyébként nem az.
A probléma megoldására egy Turing-gépet készíthetünk. A gép azzal kezdi, hogy beolvassa a karakterlánc első karakterét, és valamilyen módon megjelöli (pl. egy speciális szimbólumot ír fölé). Ezután a karakterlánc végére lép, beolvassa az utolsó karaktert, és összehasonlítja az első karakterrel. Ha megegyeznek, a gép megjelöli az utolsó karaktert, és az elejétől visszalép a következő jelöletlen karakterre, és addig ismétli a folyamatot, amíg az összes karaktert össze nem hasonlítja. Ha bármely ponton a karakterek nem egyeznek, a gép leáll, és elutasítja a bevitelt. Ha minden karakter egyezik, a gép leáll, és elfogadja a bevitelt.
Ez a példa bemutatja, hogy egy algoritmikusan leírható probléma hogyan oldható meg Turing-géppel, amely támogatja a Church-Turing tézist. A tézis azt jelenti, hogy minden algoritmussal megoldható számítási probléma elvileg megoldható Turing-géppel.
A kiberbiztonság és a számítási komplexitás elméletével összefüggésben a Church-Turing-tézisnek jelentős következményei vannak a kiszámítható korlátok és a számításhoz szükséges erőforrások megértésében. A számítási komplexitás elmélete a számítási problémák osztályozásával foglalkozik azok eredendő nehézségei és a megoldásukhoz szükséges erőforrások (például idő és tér) alapján. Az értekezés alapot ad ehhez az osztályozáshoz azáltal, hogy közös keretet hoz létre a különböző számítási modellek számítási teljesítményének meghatározására és összehasonlítására.
A számítási komplexitás elméletének egyik fontos fogalma az eldönthető és eldönthetetlen problémák megkülönböztetése. Egy probléma akkor dönthető el, ha létezik olyan Turing-gép, amely véges időn belül minden lehetséges bemenetre képes megoldani. Ezzel szemben eldönthetetlen probléma az, amelyre nem létezik ilyen Turing-gép. A Halting Probléma, amely azt kérdezi, hogy egy adott Turing-gép megáll-e egy adott bemeneten, a eldönthetetlen probléma klasszikus példája. Alan Turing bebizonyította, hogy nincs olyan általános algoritmus, amely az összes lehetséges Turing-gépre és bemenetre meg tudná oldani a leállítási problémát, bizonyítva az eredendően kiszámíthatatlan problémák létezését.
A Church-Turing-tézis a rekurzió fogalmára is vonatkozik, amely a számítástechnika és a matematika alapvető technikája a függvények meghatározására és a problémák megoldására. A rekurzív függvények azok, amelyek önmagukban vannak definiálva, gyakran egy alapesettel a rekurzió befejezésére. A primitív rekurzív függvények osztálya, amelyeket alapfüggvényekkel, valamint kompozícióval és primitív rekurzióval határozunk meg, az általános rekurzív függvények osztályának egy részhalmaza, amely magában foglalja a Turing-gép által kiszámítható összes függvényt.
Az önmagáról leírást író Turing-gép egy példa az önreferenciális vagy önreplikáló rendszerre, amely a rekurzió fogalmához kapcsolódik. Egy ilyen gép, amelyet gyakran quine-nek neveznek, egy olyan program, amely saját forráskódjának másolatát állítja elő kimenetként. A Quines elméleti szempontból érdekes, mert bemutatja a Turing-gép azon képességét, hogy önreferenciális számításokat hajtson végre, ami hatással lehet a számítási korlátok és az önreplikáló rendszerek természetének megértésére.
A Church-Turing tézis alapvető keretet biztosít az algoritmikus kiszámíthatóság természetének és a számítás korlátainak megértéséhez. Azt állítja, hogy minden algoritmussal megoldható probléma Turing-géppel is megoldható, közös keretet hozva létre a különböző számítási modellek összehasonlítására. A disszertáció mélyreható vonatkozásai vannak a számítási komplexitás elméletének, mivel alapot ad a számítási problémák osztályozásához és a megoldásukhoz szükséges erőforrások megértéséhez. Az önmagáról leírást író Turing-gép koncepciója szemlélteti az önreferenciális számítások erejét és a Turing-gépek azon képességét, hogy összetett, rekurzív számításokat hajtsanak végre.
További friss kérdések és válaszok ezzel kapcsolatban EITC/IS/CCTF számítási komplexitáselmélet alapjai:
- Milyen alapvető matematikai definíciók, jelölések és bevezetések szükségesek a számítási komplexitáselmélet formalizmusának megértéséhez?
- Miért fontos a számítási komplexitáselmélet a kriptográfia és a kiberbiztonság alapjainak megértéséhez?
- Mi a szerepe a rekurziós tételnek az ATM eldönthetetlenségének bizonyításában?
- Ha figyelembe vesszük a palindromok olvasására képes PDA-t, meg tudná részletezni a verem fejlődését, amikor a bemenet először palindrom, másodszor pedig nem palindrom?
- A nem determinisztikus PDA-k esetében az állapotok szuperpozíciója definíció szerint lehetséges. A nem determinisztikus PDA-knak azonban csak egy veremük van, amely nem lehet egyszerre több állapotban. Hogyan lehetséges ez?
- Mi a példa a hálózati forgalom elemzésére és a potenciális biztonsági résekre utaló minták azonosítására használt PDA-kra?
- Mit jelent az, hogy az egyik nyelv erősebb, mint a másik?
- A környezetérzékeny nyelveket felismeri a Turing-gép?
- Miért nem szabályos az U = 0^n1^n (n>=0) nyelv?
- Hogyan lehet meghatározni egy FSM-et, amely felismeri a páros számú '1' szimbólumú bináris karakterláncokat, és megmutatni, mi történik vele az 1011-es bemeneti karakterlánc feldolgozása során?
További kérdések és válaszok az EITC/IS/CCTF számítási komplexitáselmélet alapjaiban