Bebizonyíthatjuk-e, hogy az Np és a P osztály azonos, ha hatékony polinomiális megoldást találunk bármely NP teljes feladatra egy determinisztikus TM-en?
Az a kérdés, hogy a P és az NP osztályok egyenértékűek-e, az egyik legjelentősebb és legrégebb óta fennálló nyitott probléma a számítási komplexitáselmélet területén. A kérdés megválaszolásához elengedhetetlen, hogy megértsük ezen osztályok definícióit és tulajdonságait, valamint annak következményeit, hogy egy determinisztikus Turing-gépen (TM) bármilyen NP-teljes problémára hatékony polinomiális idejű megoldást találjunk.
Meghatározások és háttér
P (polinom idő): A P osztály olyan döntési problémákból áll (igen/nem válaszú feladatok), amelyek polinomiális időben determinisztikus Turing-géppel megoldhatók. Más szóval, egy probléma akkor van P-ben, ha létezik olyan algoritmus, amely a probléma bármely előfordulását időben meg tudja oldani, amelyet a bemenet méretének polinomiális függvénye határol.
NP (nemdeterminisztikus polinomidő): Az NP osztály olyan döntési problémákból áll, amelyekre adott megoldás polinomiális időben igazolható determinisztikus Turing-géppel. Alternatív megoldásként az NP leírható a problémák azon osztályaként, amelyek polinomiális időben nemdeterminisztikus Turing-géppel megoldhatók. A nem determinisztikus Turing-gép egy olyan elméleti modell, amely "találgatásokat" tesz, és több számítási utat is feltárhat egyszerre.
NP-Complete problémák: Egy probléma NP-teljes, ha két feltételt teljesít:
1. NP-ben van.
2. NP-ben minden probléma redukálható rá polinomiális idejű redukcióval. Ez azt jelenti, hogy ha van egy polinom-idő algoritmusunk egy NP-teljes probléma megoldására, akkor azt felhasználhatjuk bármilyen NP-beli probléma megoldására polinom időben.
A P kontra NP kérdés
A P vs. NP kérdés azt kérdezi, hogy NP-ben minden probléma megoldható-e polinomiális időben egy determinisztikus Turing-géppel, azaz P = NP. Ha P = NP, az azt jelentené, hogy minden olyan probléma, amelynek megoldása gyorsan (polinomiális időben) ellenőrizhető, gyorsan (polinomiális időben) is megoldható.
P = NP bizonyítása NP-teljes feladat megoldásával
Ha egy determinisztikus Turing-gépen találunk hatékony polinomidő-megoldást bármely NP-teljes feladatra, akkor bebizonyíthatjuk, hogy P = NP. Ennek az az oka, hogy az NP-teljes feladatok természete: ha egy NP-teljes probléma megoldható polinomiális időben, akkor az NP-ben lévő minden probléma átalakítható (redukálható) polinomiális időben azzá a problémává, és így megoldható polinomiális időben is. polinomiális idő.
Példa: A kielégítési probléma (SAT)
Az egyik legismertebb NP-teljes probléma a Boole-féle kielégítési probléma (SAT). A SAT-probléma azt kérdezi, hogy létezik-e olyan igazságérték-hozzárendelés a változókhoz, amelyre egy adott Boole-képlet igaznak számít. A Cook-Levin-tétel megállapította, hogy a SAT NP-teljes, ami azt jelenti, hogy ha meg tudjuk oldani a SAT-ot polinomiális időben, akkor bármilyen NP-beli problémát meg tudunk oldani polinom időben.
P = NP bizonyításának lépései
1. Azonosítson egy NP-teljes problémát: Válasszon bármilyen ismert NP-teljes problémát, például a SAT, a 3-SAT vagy a Traveling Salesman Problem (TSP) problémát.
2. Polinom-idő algoritmus kidolgozása: Alkossunk olyan algoritmust, amely polinomiális időben megoldja a választott NP-teljes feladatot egy determinisztikus Turing-gépen.
3. Polinom idő ellenőrzése: Győződjön meg arról, hogy az algoritmus a bemeneti méretű polinom függvény által határolt időben fut.
4. Polinom időcsökkentés: Mutassuk meg, hogy az NP bármely problémája redukálható a választott NP-teljes feladatra polinomiális időben.
P = NP következményei
Ha bebizonyosodik, hogy P = NP, a következmények mélyrehatóak lennének különböző területeken, beleértve a kriptográfiát, az optimalizálást és a mesterséges intelligenciát. Sok kriptográfiai rendszer arra a feltételezésre támaszkodik, hogy bizonyos problémákat (pl. nagy egész számok faktorálása) nehéz polinomiális időben megoldani. Ha P = NP, ezek a feltevések többé nem érvényesülnének, ami potenciálisan veszélyezteti a kriptográfiai protokollok biztonságát.
Jelenlegi állapot
A kiterjedt kutatás ellenére még senki nem talált polinomiális idejű algoritmust egyetlen NP-teljes problémára sem, és senki sem bizonyította, hogy ilyen algoritmus nem létezhet. A P vs. NP probléma továbbra is egyike annak a hét „Millennium Prize Probléma”-nak, amelyekért a Clay Mathematics Institute egymillió dolláros díjat ajánlott fel a helyes megoldásért.
Következtetés
Az a kérdés, hogy P és NP ugyanaz-e, ha hatékony polinomiális megoldást találunk bármely NP-teljes problémára egy determinisztikus Turing-gépen, nyitva marad. A probléma összetettsége az NP-teljes problémák belső nehézségében és a polinomiális idejű algoritmusok kidolgozásának kihívásában rejlik. Ennek a kérdésnek a megoldása messzemenő következményekkel járna a számítástechnika számos területén és azon túl is.
További friss kérdések és válaszok ezzel kapcsolatban Bonyolultság:
- A PSPACE osztály nem egyenlő az EXPSPACE osztállyal?
- A P komplexitási osztály a PSPACE osztály részhalmaza?
- Egyenlő lehet az NP osztály az EXPTIME osztállyal?
- Vannak olyan problémák a PSPACE-ban, amelyekre nincs ismert NP algoritmus?
- Lehet egy SAT probléma NP teljes probléma?
- Lehet-e egy probléma NP komplexitási osztályban, ha van egy nem determinisztikus turinggép, amely polinomiális időben megoldja
- Az NP azon nyelvek osztálya, amelyek polinomiális időellenőrzőkkel rendelkeznek
- P és NP valójában ugyanaz a komplexitási osztály?
- Minden környezetfüggetlen nyelv a P komplexitási osztályban?
- Van-e ellentmondás az NP-nek mint döntési problémák osztályának polinomiális idejű hitelesítőkkel történő meghatározása és az a tény között, hogy a P osztályban lévő problémáknak polinomiális idejű hitelesítői is vannak?
További kérdések és válaszok a Complexity oldalon