Minden környezetfüggetlen nyelv a P komplexitási osztályban?
Az a kérdés, hogy minden kontextusmentes nyelv (CFL) a P komplexitási osztályba tartozik-e, lenyűgöző téma a számítási komplexitáselméletben. A kérdés átfogó megválaszolásához elengedhetetlen a kontextusmentes nyelvek definícióinak, a P összetettségi osztálynak és e fogalmak közötti kapcsolatnak a figyelembe vétele.
A kontextusmentes nyelv egy olyan formális nyelv, amely egy kontextusmentes nyelvtan (CFG) segítségével hozható létre. A CFG olyan termelési szabályok halmaza, amelyek leírják az összes lehetséges karakterláncot egy adott formális nyelven. A CFG-ben minden egyes szabály egyetlen nem terminális szimbólumot cserél le nem terminális és terminális szimbólumokból álló sorozatra. A kontextusmentes nyelvek jelentősek a számítástechnikában, mert le tudják írni a legtöbb programozási nyelv szintaxisát, és a pushdown automaták felismerik őket.
A P komplexitási osztály olyan döntési problémákból áll, amelyek polinomiális időben determinisztikus Turing-géppel megoldhatók. A polinomiális idő, amelyet O(n^k)-ként jelölünk, ahol n a bemenet mérete és k egy állandó, az algoritmus időbonyolultságának felső korlátját jelenti. A P-beli problémákat hatékonyan megoldhatónak tekintjük, mert a megoldásukhoz szükséges idő kezelhető ütemben növekszik a bemeneti méret növekedésével.
Annak megállapításához, hogy minden kontextusmentes nyelv P-ben van-e, meg kell vizsgálnunk a kontextusmentes nyelvhez való tagság eldöntéséhez szükséges számítási erőforrásokat. A környezetfüggetlen nyelv döntési problémája általában a következő: adott w karakterlánc és kontextusmentes G nyelvtan határozza meg, hogy w generálható-e G-vel.
A kontextusmentes nyelvben a tagság eldöntésének standard algoritmusa a CYK (Cocke-Younger-Kasami) algoritmus, amely egy dinamikus programozási algoritmus. A CYK algoritmus O(n^3) időben működik, ahol n a bemeneti karakterlánc hossza. Ez a köbös időbonyolultság abból adódik, hogy az algoritmus egy elemző táblát hoz létre, amelynek méretei arányosak a bemeneti karakterlánc hosszával és a nyelvtanban található nem terminális szimbólumok számával.
Tekintettel arra, hogy a CYK algoritmus polinomiális időben működik, ebből az következik, hogy a kontextusmentes nyelvek tagsági problémája polinomiális időben is megoldható. Következésképpen a kontextusmentes nyelvek valóban a P komplexitási osztályba tartoznak. Ez az eredmény azért jelentős, mert megállapítja, hogy a kontextusmentes nyelvek, amelyek kifejezőbbek a reguláris nyelveknél, még mindig hatékonyan dönthetők el.
Ennek szemléltetésére vegyük figyelembe az L = {a^nb^n | környezetfüggetlen nyelvet n ≥ 0}, amely azonos számú „a” karakterláncból áll, amelyet azonos számú „b” követ. Ennek a nyelvnek a környezetfüggetlen nyelvtana a következőképpen definiálható:
S → aSb | ε
Itt S a kezdőszimbólum, ε pedig az üres karakterláncot. A CYK algoritmus használható annak meghatározására, hogy egy adott w karakterlánc L-hez tartozik-e. Például, ha a w = "aaabbb" karakterláncot kapja, a CYK algoritmus egy elemző táblát hoz létre annak ellenőrzésére, hogy w generálható-e a nyelvtan által.
Emellett érdemes megjegyezni, hogy egyes kontextusmentes nyelvek még hatékonyabban is eldönthetők, mint a CYK algoritmus általános O(n^3) időbonyolultsága. Például a determinisztikus kontextusmentes nyelvek, amelyek a determinisztikus lenyomó automaták által felismert kontextusmentes nyelvek egy részhalmaza, gyakran O(n) idő alatt eldönthetők. Ez a lineáris időbonyolultság abból adódik, hogy a determinisztikus lenyomó automaták korlátozottabb számítási modellel rendelkeznek, ami hatékonyabb elemzési algoritmusokat tesz lehetővé, mint például a fordítótervezésben használt LR(k) vagy LL(k) értelmezők.
A kontextusmentes nyelvek tagsági problémája polinomiális időben megoldható olyan algoritmusok segítségével, mint például a CYK algoritmus, a kontextusmentes nyelveket a P komplexitási osztályba helyezve. Ez az eredmény rávilágít arra, hogy milyen hatékonysággal lehet feldolgozni a kontextusmentes nyelveket. alkalmas programozási nyelv szintaktikai elemzésére és egyéb olyan területekre, ahol formális nyelvfelismerés szükséges.
További friss kérdések és válaszok ezzel kapcsolatban Bonyolultság:
- A PSPACE osztály nem egyenlő az EXPSPACE osztállyal?
- A P komplexitási osztály a PSPACE osztály részhalmaza?
- Bebizonyíthatjuk-e, hogy az Np és a P osztály azonos, ha hatékony polinomiális megoldást találunk bármely NP teljes feladatra egy determinisztikus TM-en?
- Egyenlő lehet az NP osztály az EXPTIME osztállyal?
- Vannak olyan problémák a PSPACE-ban, amelyekre nincs ismert NP algoritmus?
- Lehet egy SAT probléma NP teljes probléma?
- Lehet-e egy probléma NP komplexitási osztályban, ha van egy nem determinisztikus turinggép, amely polinomiális időben megoldja
- Az NP azon nyelvek osztálya, amelyek polinomiális időellenőrzőkkel rendelkeznek
- P és NP valójában ugyanaz a komplexitási osztály?
- Van-e ellentmondás az NP-nek mint döntési problémák osztályának polinomiális idejű hitelesítőkkel történő meghatározása és az a tény között, hogy a P osztályban lévő problémáknak polinomiális idejű hitelesítői is vannak?
További kérdések és válaszok a Complexity oldalon