A kvantuminformáció területén a kvantumállapotok és a hozzájuk tartozó amplitúdók fogalma alapvető. Annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogy egy kvantumállapot amplitúdójának valós számnak kell lennie, feltétlenül figyelembe kell venni a kvantummechanika matematikai formalizmusát és a kvantumállapotokat szabályozó elveket.
A kvantummechanika egy kvantumrendszer állapotát reprezentálja egy hullámfüggvényként vagy állapotvektorként ismert matematikai objektum segítségével, amelyet általában (psi) (psi) vagy (ket{psi}) jelölnek a Dirac-jelölésben. Ez az állapotvektor a Hilbert-térnek nevezett komplex vektortérben található. Ennek a térnek az elemei, az állapotvektorok általában összetett értékű függvények.
A kvantumállapot amplitúdója azokra az együtthatókra vonatkozik, amelyek az állapotvektor kiterjesztésében jelennek meg egy választott bázis tekintetében. Egy állapotvektorral ( ket{psi} ) leírt kvantumrendszer esetén, ha ezt az állapotot bázissal ( { ket{phi_i} } } ) fejezzük ki, akkor a következőt kapjuk:
[ ket{psi} = sum_i c_i ket{phi_i} ]Itt ( c_i ) a bázisállapotokhoz ( ket{phi_i} ) társított komplex amplitúdók. Ezek az amplitúdók ( c_i ) általában komplex számok. Ez egyenes következménye annak a követelménynek, hogy a belső szorzattér teljes legyen, és alkalmazkodjon a kvantum-szuperpozíció és interferencia elveihez.
Az amplitúdók összetettsége több okból is fontos:
1. Szuperpozíciós elv: A kvantummechanika lehetővé teszi az állapotok szuperpozícióját. Ha ( ket{psi_1} ) és ( ket{psi_2} ) két érvényes kvantumállapot, akkor bármilyen lineáris kombináció ( alfa ket{psi_1} + béta ket{psi_2} ), ahol ( alpha ) és ( béta ) komplex számok, is érvényes kvantumállapot. A komplex együtthatók ( alfa ) és ( béta ) a megfelelő állapotok amplitúdóit jelentik a szuperpozícióban.
2. Valószínűség-értelmezés: Egy adott eredmény mérésének valószínűségét egy kvantumrendszerben az amplitúdó négyzete határozza meg. Ha ( c_i ) egy állapot ( ket{phi_i} ) amplitúdója, akkor az állapot ( ket{phi_i} ) mérésének valószínűségét ( P_i ) a következőképpen adja meg:
[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]ahol ( c_i^* ) a (c_i ) komplex konjugátuma. Ennek a valószínűségnek 0 és 1 közötti valós számnak kell lennie, de maga az amplitúdó ( c_i ) lehet összetett is.
3. Interferencia hatások: Az amplitúdók komplex jellege elengedhetetlen az interferenciajelenségek leírásához. Ha két vagy több kvantumút interferál, a kapott amplitúdó az egyes amplitúdók összege, és az ezen összetett amplitúdók közötti fáziskülönbség konstruktív vagy destruktív interferenciához vezet. Ez az olyan jelenségek alapvető aspektusa, mint a kettős rés kísérlet.
4. Egységes Evolúció: A kvantumállapot időbeli alakulását a Schrödinger-egyenlet szabályozza, amely magában foglalja a Hamilton-operátort. Ennek az egyenletnek a megoldásai általában összetett függvények. Az evolúciót leíró unitárius operátorok megőrzik az állapotvektor normáját, de módosíthatják annak fázisát, így megkövetelik, hogy az amplitúdók összetettek legyenek.
E pontok szemléltetésére vegyünk egy egyszerű példát a qubitre, a kvantuminformáció alapegységére. Egy qubit lehet a ( ket{0} ) és a ( ket{1} ) alapállapotok szuperpozíciójában:
[ ket{psi} = alfa ket{0} + béta ket{1} ]Itt az ( alfa ) és ( béta ) olyan komplex számok, amelyeknél ( |alpha|^2 + |beta|^2 = 1 ). Ez a normalizálási feltétel biztosítja, hogy a qubit (ket{0}) vagy (ket{1}) állapotban való megtalálásának teljes valószínűsége 1 legyen. Az (alfa) és (béta) összetett természete lehetővé teszi a kvantumállapotok gazdag szerkezetét. és elengedhetetlen a kvantumszámítási és információfeldolgozási feladatokhoz.
Vegyük például a Hadamard-kaput, egy alapvető kvantumkaput, amelyet szuperpozíciós állapotok létrehozására használnak. Az alapállapotra ( ket{0} ) alkalmazva a Hadamard-kapu a következő állapotot állítja elő:
[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1}) ]Itt a ( ket{0} ) és a ( ket{1} ) amplitúdója is ( frac{1}{sqrt{2}} ), amely valós szám. Ha azonban a Hadamard-kaput a ( ket{1} ) állapotra alkalmazzuk, a következőket kapjuk:
[ ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1}) ]Ebben az esetben a ( ket{1} ) amplitúdója ( -frac{1}{sqrt{2}} ), ami még mindig valós. Ennek ellenére vegyünk egy fáziskaput, amely összetett fázistényezőt vezet be. A fáziskapu ( R(theta) ) qubit állapotra ( ket{psi} = alfa ket{0} + béta ket{1} ) a következőképpen hat:
[ R(theta) ket{psi} = alfa ket{0} + béta e^{itheta} ket{1} ]Itt ( e^{itheta} ) egy egységmodulusú komplex szám. Ez a művelet világosan mutatja, hogy az állapot (ket{1}) amplitúdója összetett fázistényezőre tehet szert, hangsúlyozva az összetett amplitúdók szükségességét a kvantummechanikában.
Tekintsük továbbá a kvantumösszefonódás jelenségét, amikor az egyik részecske állapota lényegileg összefügg egy másik részecske állapotával, függetlenül a köztük lévő távolságtól. A két qubit összefonódott állapota a következőképpen ábrázolható:
[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11}) ]Itt (e^{iphi}) egy összetett fázistényező, amely azt mutatja, hogy az összefonódási állapot összetevői közötti relatív fázis fontos az összefonódási tulajdonságok leírásához.
A kvantumszámításban a komplex amplitúdók használata nélkülözhetetlen a kvantumalgoritmusok megvalósításához. Például a Shor-algoritmus a nagy egészek faktorálására és a Grover-algoritmus a strukturálatlan keresésre egyaránt az összetett amplitúdók interferenciájára támaszkodik, hogy elérje exponenciális sebességét a klasszikus algoritmusokhoz képest.
A komplex amplitúdók szükségessége a kvantumhiba-korrekció kapcsán is nyilvánvaló. A kvantumhibajavító kódok, mint például a Shor-kód vagy a Steane-kód, logikai qubiteket kódolnak több fizikai qubit összefonódott állapotaiba. Az ezekben a kódokban található összetett amplitúdók biztosítják, hogy a hibák észlelhetők és kijavíthatók a kvantuminformáció összecsukása nélkül.
A kvantumállapot amplitúdója nem kell, hogy valós szám legyen. A kvantumamplitúdók összetett természete a kvantummechanika alapvető szempontja, amely lehetővé teszi a szuperpozíció, az interferencia és az összefonódás leírását. A komplex számok használata elengedhetetlen a kvantumelmélet matematikai konzisztenciájához és a kvantuminformáció-feldolgozási feladatok gyakorlati megvalósításához.
További friss kérdések és válaszok ezzel kapcsolatban EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals:
- Hogyan működik a kvantumnegációs kapu (kvantum NOT vagy Pauli-X kapu)?
- Miért önvisszafordítható a Hadamard-kapu?
- Ha megméri a Bell állapot 1. qubitjét egy bizonyos bázisban, majd megméri a 2. qubitet egy bizonyos théta szöggel elforgatott bázisban, akkor annak a valószínűsége, hogy a megfelelő vektorra vetítést kap, egyenlő a théta szinuszának négyzetével?
- Hány bit klasszikus információra lenne szükség egy tetszőleges qubit szuperpozíció állapotának leírásához?
- Hány dimenziónak van 3 qubites tere?
- Egy qubit mérése tönkreteszi a kvantum-szuperpozícióját?
- Lehet-e a kvantumkapuknak több bemenete, mint kimenete, hasonlóan a klasszikus kapuknak?
- A kvantumkapuk univerzális családjába tartozik a CNOT és a Hadamard kapu?
- Mi az a kétrés kísérlet?
- A polarizáló szűrő forgatása egyenértékű-e a fotonpolarizáció mérési alapjának megváltoztatásával?
További kérdések és válaszok az EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals című kiadványban